راه‌حلی برای مساله ۲۳۰۰ ساله  

 

                          

دانش‌های بنیادی - تصور کنید می‌خواهید ثابت کنید بی‌نهایت زوج عدد اول وجود دارد که تفاضل‌شان 2 است؛ به جای آن ثابت می‌کنید بی‌نهایت زوج عدد اول وجود دارد که تفاضل‌شان کمتر از 70,000,000 است. این بزرگ‌ترین کشف ریاضی سال‌های اخیر است.

تصور کنید قرار است ثابت کنید تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارند که تفاضل آنها دو واحد است. به جای آن ثابت می‌کنید تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارد که تفاضل آنها کمتر از 70 میلیون رقم است. آیا فکر می‌کنید این شکستی مفتضحانه است و بهتر است درباره آن سکوت کنید؟ اگر این طور فکر می‌کنید چیزی از دنیای شگفت‌انگیز ریاضیات نمی‌دانید.
اگر داستان آلیس در سرزمین عجایب را خوانده باشید حتما با لانه خرگوش آشنا هستید. آلیس، در یک عصر تابستانی خرگوشی را دنبال می‌کند و به دنبال او قدم به لانهاش می‌گذارد و بلافاصله جهانش تغییر می‌کند، هیچ‌چیز آن طوری نیست که به نظر می‌آمد باید باشد. در این دنیا اولویت‌ها و منطق‌ها و رفتارها تغییر می‌کند. آلیس همان آلیس است، اما با قدم نهادن در لانه خرگوش دیدش به جهان تغییر می‌کند و از دل آن است که می‌تواند جهان‌های جدیدی را نه تنها برای خود کشف کند که خوانندگان این داستان را به کشف دنیایی فراسوی روزمرگی راهنمایی کند.
این لانه افسانه‌ای خرگوش فقط زاییده ذهن ریاضی‌دانی با نام مستعار لوییس کرول نیست که داستانی را هنگام قایق‌رانی برای شاگردش تعریف کرده است. در دنیای واقعی دروازه‌های زیادی وجود دارد که وقتی قدم به آن بگذارید دنیای متفاوتی در برابر چشمان شما شکل می‌گیرد؛ دنیایی که اگر بیش از اندازه به روزمرگی معتاد شده باشید به همان اندازه برایتان شگفت‌انگیز و معجزه‌آسا خواهد بود. ریاضیات یکی از این حفره‌های جادویی جهان است، دنیایی برآمده از منطق که تفسیرگر جهان ماست و رشد و پیشرفتش و فضا و ساختارش ساز و کار ویژه خود را دارد. وقتی به این دنیا وارد می‌شوید آن‌چه در ابتدای این متن خواندید دیگر شکست به شمار نمی‌رود بلکه موفقیتی تاریخی و یکی از مهم‌ترین کشف‌های ریاضیاتی معاصر بدل می‌شود.

امن‌ترین اعداد جهانزمانی کارل گاوس ریاضیات را ملکه علوم و نظریه اعداد را ملکه ریاضیات نامیده بود. شاید اگر اعداد اول را از محترم ترین ساکنان قلمرو این ملکه بشماریم سخنی به زیاده نگفته باشیم. اعداد اول اعداد مهمی هستند. نه فقط به این دلیل که امروز بخش بزرگی از اطمینانی که ما به رمزنگاری در کارهای روزمره داریم (مانند تراکنش‌های بانکی یا خرید‌های اینترنتی با کمک کارت‌های اعتباری) به خاطر استفاده از این اعداد است، بلکه به دلیل ماهیت و جایگاهی که در بین اعداد طبیعی دارند مهم به شمار می‌روند. اعداد طبیعی همان اعداد آشنایی هستند که هنگام شمارش به کار می‌بریم، از یک شروع می‌شوند و به ترتیب هر بار یکی به آنها افزوده می‌شود و مجموعه ای مانند ...و3و2و1 می‌سازند که به طور نامتناهی ادامه می‌یابد. در این بین بعضی از اعداد وجود دارند (غیر از 1) که فقط می‌توان آنها را به خودشان و به 1 تقسیم کرد. مثلا شما عدد 6 را می‌توانید به 1، 2، 3 و 6 تقسیم کنید و باقی مانده شما صفر شود؛ اما عددی مانند 3 فقط قابل تقسیم به 3 و 1 است همین‌طور عددی مانند 11، 17 یا 1- 2^195,000× 2,003,663,613. چنین اعداد طبیعی را که تنها قابل تقسیم بر خود و یک هستند، اعداد اول می‌نامند.

شما به راحتی می‌توانید چندین عدد اول را بشمارید، 2،3،5،7،11،13،17،19،23و ... اما هرچقدر اعداد طبیعی بزرگ‌تر می‌شوند فراوانی و یا چگالی (تعداد اعداد اول در یک فاصله مشخص) نیز کاهش می‌یابد. هنوز فرمولی پیدا نشده که بتواند اعداد اول را تولید کند و هنوز دقیق نمی‌دانیم که توزیع این اعداد در بین اعداد طبیعی چگونه است. آیا با اضافه شدن به اعداد طبیعی ممکن است به جایی برسیم که فاصله میان دو عدد اول متوالی نیز به سمت بی نهایت میل کند و به جایی برسیم که هیچ دو عدد اول نزدیک به همی را نتوانیم پیدا کنیم؟

یک فرض قدیمییک فرض قدیمی باعث می‌شود ریاضی‌دان‌ها خوش‌بین باشند که چنین اتفاقی نمی‌افتد. این فرض که قدمت آن به دوران اقلیدس (سده سوم پیش از میلاد) می‌رسد، بیان می‌کند که تعداد نامتناهی زوج عدد اول (دو عدد اول) وجود دارند که فاصله آنها تنها دو واحد است. مثلا 3 و 5 را در نظر بگیرید این دو عدد هر دو اول هستند و تنها دو واحد با هم فاصله دارند. 11 و 13 نیز همین ویژگی را دارند همین‌طور 17 و 19 و همینطور دو رقم  1- 2^195,000× 2,003,663,613 و 1+ 2^195,000× 2,003,663,613. حال سوال اینجاست که آیا چنین زوج اعدادی را می‌توان وقتی اعضای رشته اعداد طبیعی به اندازه کافی بزرگ باشند هم پیدا کرد؟ اگر این طور باشد باید تعداد نامتناهی از این زوج اعداد وجود داشته باشد.
این فرض هنوز هم یکی از قدیمی‌ترین مسایل حل نشده ریاضیات است. علت این‌که به آن حدس می‌گویند، این است که اگرچه تا الان ریاضی‌دان‌ها نتوانسته‌اند وجود تعداد نامتناهی از این زوج‌ها را ثابت کنند، نتوانسته‌اند عدم وجود آنها را نیز ثابت کنند و در عین حال آن مقداری از اعداد اول را که پیدا کرده‌اند در بردارنده چنین زوج اعدادی هستند. چون در ریاضیات یا یک گزاره درست است و یا نیست؛ پس تا زمان اثبات و یا رد منطقی و ریاضی، این گزاره به عنوان فرض باقی می‌ماند.
تلاش‌ها برای بررسی این وضعیت و رسیدن به نتیجه ای مناسب در سال 2005/1384 به اوج خود رسید. در این سال دنیل گلدستون از دانشگاه سن‌خوزه به همراه دو همکارش با انتشار مقاله‌ای نشان دادند تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارد که فاصله آنها حداکثر 16 واحد است. این گام بزرگی به شمار می‌رفت و می‌توانست ریاضی‌دان‌ها را در رسیدن به اثباتی برای نشان دادن وجود تعداد نا‌متناهی زوج عدد اول با فاصله دو رقمی امیدوار کند؛ اما در این اثبات از فرض دیگری استفاده شده بود که خود آن فرض هنوز اثبات نشده است.

یک جهش بزرگبه گزارش Nature، وقتی ایتانگ ژانگ (Yitang Zhang ، صاحب تصویر به نمایش درآمده در آغاز متن) ریاضی‌دان دانشگاه نیوهمپ‌شایر نتیجه تحقیق خود را برای گروهی از همکارانش ارایه کرد و وقتی که ریاضی‌دان‌های پیشرو در این زمینه مقاله وی را مشاهده کردند، این احتمال مطرح شد که گام غول‌آسایی در حل این مساله تاریخی و مهم ریاضیاتی برداشته شده باشد. به نظر می‌آید او بدون آن‌که از هیچ فرض تاییدنشده‌ای کمک گرفته باشد و بدون آن‌که ایراد و نقص آشکاری در روش کارش مشاهده شود، توانسته است ثابت کند که تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارند که حداکثر فاصله آنها از هم 70 میلیون واحد است.
شاید به نظر خیلی امیدوارکننده نباشد وقتی به دنبال زوج اعدادی با اختلاف دو واحد باشید و به جای آن به تفاوت 70 میلیون واحدی مواجه می‌شوید؛ اما به یاد داشته باشید شما در دنیای شگفت‌انگیز ریاضیات هستید. مدتهاست از آستانه لانه خرگوش عبور کرده‌اید و باید قوانین این دنیا را بپذیرید. اگر این روش از پس بررسی‌های دقیق ریاضی‌دانان سربلند خارج شود، موفقیتی بزرگ به شمار می‌رود. درست است که 70 میلیون واحد فاصله به نظر خیلی زیاد می‌آید، اما درنهایت فاصله‌ای معنی‌دار و محدود است؛ یعنی ما توانسته‌ایم تعداد نامتناهی زوج عدد اول پیدا کنیم که فاصله میان آنها کمتر از مرزی مشخص است. این مرز اکنون به نظر می‌رسد 70 میلیون باشد.
گلدستاین که خودش در تحقیق اخیر نقشی نداشته اما یکی از ریاضی‌دان‌های فعال در زمینه اعداد اول است، می‌گوید: «انتظار ندارم این روش را بتوان به گونه‌ای به کار برد که در نهایت ما را به صورت اصلی فرض که زوج اعداد با فاصله دو رقم است برساند. اما واقعیت این است که باورم نمی‌شد در زمانی که زنده هستم شاهد چنین پیشرفتی باشم.»
این اثبات (اگر تایید شود) در نهایت دید بهتری نسبت به توزیع اعداد اول در اختیار ریاضی‌دان‌ها قرار می‌دهد و به شناخت آنها از اعداد اول کمک می‌کند. شاید بپرسید این‌ها به چه کار روزمره ما می‌آید؟ شاید برای کسانی که بیرون لانه خرگوش ایستاده‌اند و مشغول خواندن روزنامه‌ای از خبرهای روز هستند، کارآیی نداشته باشد اما این ریاضی‌دانان هستند که در ناب‌ترین شکل ممکن به بررسی و کشف ساختمان موجودی مشغولند که جهان ما و دنیای ما و اندیشه ما براساس آن بنا شده است.  

متن علمی کامل در مجله Nature

الگوریتم بهینه سازی زنبور عسل Bee Colony Optimization

الگوریتم زنبور شامل گروهی مبتنی بر الگوریتم جستجو است که اولین بار در سال 2005 توسعه یافت ؛ این الگوریتم شبیه سازی رفتار جستجوی غذای گروههای زنبور عسل است. در نسخه ابتدایی این الگوریتم، الگوریتم نوعی از جستجوی محلی انجام می دهد که با جستجوی کتره ای{Random } ترکیب شده و می تواند برای بهینه سازی ترکیبی {زمانی که بخواهیم چند متغیر را همزمان بهینه کنیم.}یا بهینه سازی تابعی به کار رود.

جستجوی غذا در طبیعت

یک کلونی زنبور عسل می تواند در مسافت زیادی و نیز در جهت های گوناگون پخش شود تا از منابع غذایی بهره برداری کند.
قطعات گلدار با مقادیر زیادی نکتار و گرده که با تلاشی کم قابل جمع آوری است،به وسیلهی تعداد زیادی زنبور بازدید می شود؛ به طوری که قطعاتی از زمین که گرده یا نکتار کمتری دارد، تعداد کمتری زنبور را جلب می کند.
پروسه ی جستجوی غذای یک کلونی به وسیله ی زنبورهای دیده بان آغاز می شود که برای جستجوی گلزار های امید بخش {دارای امید بالا برای وجود نکتار یا گرده}فرستاده می شوند.
زنبورهای دیده بان به صورت کتره ای{Random } از گلزاری به گلزار دیگر حرکت می کنند.
در طول فصل برداشت محصول{گل دهی}، کلونی با آماده نگه داشتن تعدادی از جمعیت کلونی به عنوان زنبور دیده بان به جستجوی خود ادامه می دهند. هنگامی که جستجوی تمام گلزار ها پایان یافت، هر زنبور دیده بان ، بالای گلزاری که اندوخته ی کیفی مطمئنی از نکتار و گرده دارد، رقص خاصی را اجرا می کند.

این رقص که به نام "رقص چرخشی"{حرکتی مانند حرکت قرقره} شناخته می شود، اطلاعات مربوط به جهت تکه گلزار{نسبت به کندو}، فاصله تا گلزار و کیفیت گلزار را به زنبور های دیگر انتقال می دهد. این اطلاعات زنبور های اضافی و پیرو را به سوی گلزار می فرستد.
بیشتر زنبور های پیرو به سوی گلزار هایی میروند که امید بخش تر هستند و امید بیشتری برای یافتن نکتار و گرده در آنها، وجود دارد.

وقتی همه ی زنبور ها به سمت ناحیه ای مشابه بروند، دوباره به صورت کتره ای {Random } و به علت محدوده ی رقصشان در پیرامون گلزار پراکنده می شوند تا به موجب این کار سرانجام نه یک گلزار ، بلکه بهترین گل های موجود درون آن تعیین موقعیت شوند.

الگوریتم

الگوریتم زنبور هر نقطه را در فضای پارامتری_ متشکل از پاسخ های ممکن_به عنوان منبع غذا تحت بررسی قرار می دهد."زنبور های دیده بان"_ کارگزاران شبیه سازی شده _به صورت کتره ای{Random } فضای پاسخ ها را ساده می کنند و به وسیله ی تابع شایستگی کیفیت موقعیت های بازدید شده را گزار ش می دهند. جواب های ساده شده رتبه بندی می شوند، و دیگر "زنبورها" نیروهای تازه ای هستند که فضای پاسخ ها را در پیرامون خود برای یافتن بالا ترین رتبه محل ها جستجو می کنند{که "گلزار" نامیده می شود} الگوریتم به صورت گزینشی دیگر گلزار ها را برای یافتن نقطه ی بیشینه ی تابع شایستگی جستجو می کند.

کاربرد ها

برخی کاربرد های الگوریتم زنبور در مهندسی:
آموزش شبکه عصبی برای الگو شناسی
زمان بندی کارها برای ماشین های تولیدی
دسته بندی اطلاعات
بهینه سازی طراحی اجزای مکانیکی
بهینه سازی چند گانه
میزان کردن کنترل کننده های منطق فازی برای ربات های ورزشکار

الگوریتم مورچه ها ( الگوریتم هوش مصنوعی)

مورچه‌ها برای پیمودن مسیرهای پیچیده نیاز به مغز پیچیده‌ای ندارند

دانش‌های بنیادی - شبیه‌سازی الگوی حرکتی مورچه‌ها به کمک روبات‌ها نشان داده است که هندسه شبکه جابجایی نقش مهمی در شبکه جابجایی و حرکت اجتماع مورچگان بازی می‌کند و آنها نیازی به فرآیندهای شناختی پیچیده ندارند.

عرفان خسروی: دانشمندان موفق شده‌اند رفتار اجتماعی حرکت مورچه‌ها را به وسیله روبات‌های مینیاتوری تقلید کنند. محققان موسسه تکنولوژی نیوجرسی (نیویورک، آمریکا) و مرکز تحقیقات شناختی (تولید، فرانسه)، به منظور کشف این موضوع انجام گرفت که یک مورچه وقتی بخشی از حرکت کلنی است،چگونه خود را در مسیر تودرتوی لانه تا منابع غذایی مختلف هدایت می‌کند.
این مطالعه به طور عمده بر رفتار حرکتی مورچه آرژانتینی و هماهنگی این مورچگان در انواع مسیرهای متقارن و نامتقارن متمرکز شده است. در طبیعت، مورچه‌ها این کار را با به جا گذاشتن ردی از فرومون های شیمیایی در مسیر خود، انجام می‌دهند. اما این بار با استفاده از روبات‌هایی در مقیاس حبه‌های قند که آلیس نام گرفتند و به وسیلۀ مسیری از نور شبیه سازی شده است. آن‌ها با استفاده از دو حسگر نور که معادل شاخک مورچه‌ها هستند قادر به شناسایی مسیر نوری خواهند بود. در آغاز آزمایش، زمانی که هیچ دنباله نوری در پیچ و خم مازگونه مسیر وجود ندارد روبات‌ها رفتاری اکتشافی آغاز می‌کنند که درست مثل الگوی حرکتی حشرات است، یعنی با الگویی منظم اما به صورت تصادفی. این مسئله روبات‌ها را به سوی مسیری سوق می‌دهد که کمترین انحراف را از هر یک از انشعاب‌های ماز دارد. اگر هم هر یک از روبات‌ها مسیر یک پرتو نور را تشخیص دهند، قادر خواهند بود که به دنبال آن بچرخند و مسیر را دنبال کنند.
یکی از دستاوردهای این تحقیق، کشف این نکته بود که روبات‌ها نیازی به برنامه ریزی برای شناسایی و محاسبه هندسه شبکه انشعاب‌ها ندارند. آن‌ها تنها به کمک دنباله روی از مسیر نور و راه پیمایی تصادفی در مسیرهای مستقیم از پیش برنامه‌ریزی شده موفق به شناسایی مسیر ماز شدند. به علاوه مشاهده رفتار مشابه میان این روبات‌ها و اجتماع مورچگان نشان می‌دهد فرایند شناختی چندان پیچیده‌ای در اجتماعات مورچگان مسئول جابه‌جایی‌های پیچیده آن‌ها نیست. بنابراین پاسخی به این پرسش قدیمی داده شد که چگونه جهت‌یابی و رفتارهای پیچیده دیگر مورچگان تنها به وسیله مغزهای ساده آن‌ها قابل حصول است. در حقیقت هندسه شبکه جابه‌جایی نقشی بسیار مهم‌تر در مسیریابی و حرکت اجتماع مورچگان بازی می‌کند.

                       

چرا عسل هنگام ریختن درون ظرف کش می‌آید؟

دانش‌های بنیادی - آب قطره‌قطره فرومی‌ریزد؛ اما هنگام ریختن عسل از آن رشته باریک و بلندی تشکیل می‌شود. مدل ریاضی که توسط یک محقق ایرانی ارائه شده، نشان می‌دهد همه‌چیز به ویسکوزیته و سرعت حرکت مایع در اثر جاذبه برمی‌گردد.

محبوبه عمیدی: عجیب است؛ اما با اینکه همگی ما تاکنون با این واقعیت که عسل و دیگر شربت‌های غلیظ (سیروپ) بر خلاف آب و دیگر نوشیدنی‌ها هنگام انتقال از ظرفی به ظرف دیگر کش می‌آیند، برخورد کرده‌ایم تا به امروز توضیح قانع‌کننده‌ای برای این تفاوت وجود نداشته است. به تازگی آرمان جوادی و همکارانش در اکول نرمال سوپریور پاریس، فرانسه پاسخ قابل‌قبولی برای این پرسش پیدا کرده‌اند. آنها می‌گویند این موج‌های کوچک هستند که باعث تفاوت رفتار در مایعاتی با ویسکوزیته متفاوت می‌شوند.

شاید تصور کنید این ویسکوزیته مایع (وشکسانی، لزجت یا قوام) آن است که باعث کش آمدن آن می‌شود؛ اما تحقیقاتی که پیش از این انجام شده بود نقش ویسکوزیته را در کش آمدن مایعات در هنگام ریختن درون ظروف مختلف رد می‌کرد و به همین دلیل توضیح قانع‌کننده‌ای برای تشریح تفاوت رفتار آب و عسل در برابر جاذبه نداشت.

شیوه‌ای که جوادی و همکارانش در اکول نرمال سوپریور برای تشریح این تفاوت انتخاب کرده‌اند، مبتنی بر تفاوت ویسکوزیته دو مایع است و می‌‌تواند توضیح قانع‌کننده‌ای در مورد علت کش‌آمدن مایعات ویسکوز ارائه کند.

این گروه از یک مدل ریاضی استفاده کرد تا پیش‌بینی کند چطور امواج کوچک حاصل از سیلان مایع که به طور طبیعی در هنگام ریختن آن تشکیل می‌شوند، می‌توانند روی رفتار آن در هنگام ریزش تأثیر بگذارند. در حقیقت این موج‌ها بودند که میزان کش آمدن جریان مایع را تعیین می‌کردند. اگر آنها از حد مشخصی بلندتر می‌‌شدند، رشته مایع از هم شکافته ‌شده و به قطراتی از آن تبدیل می‌شد.

می‌دانیم که موج‌ها در مایعات ویسکوز آهسته‌تر شکل می‌گیرند، پس می‌توانیم انتظار داشته باشیم که هر چقدر مایع غلیظ‌تر باشد، رشته حاصل از ریزش آن طولانی‌تر شود. از سوی دیگر می‌دانیم که مایعات ویسکوز تحت اثر جاذبه کندتر از مایعات دیگر حرکت می‌کنند و پیش‌بینی احتمال کش‌آمدن یک مایع با دانستن ویسکوزیته آن چندان ساده نیست.

جوادی و همکارانش نشان دادند در مایعاتی مانند عسل که ویسکوزیته بالایی دارند، سرعت حرکت سیال در اثر جاذبه بیش از سرعت شکل‌گیری موج‌های کوچک در آن است و در نتیجه رشته باریک و بلندی از مایع می‌تواند شکل بگیرد که در نهایت توسط این موج‌ها شکسته خواهد شد.

آزمون تجربی

این گروه موفق شد در آزمون‌های تجربی که با روغن سیلیکون در ویسکوزیته‌های متفاوت انجام شدند، درستی پیش‌بینی مدل ریاضی خود را نشان دهد.

جنز اگرز، یکی از اعضای این تیم که ار دانشگاه بریستول در انگلستان با آنها همکاری کرده، می‌گوید: «حل مسائل فیزیک به کمک ریاضیات فوق‌العاده است. گروه‌های دیگر شیوه‌های متفاوتی را انتخاب کردند و به جواب صحیح نرسیدند».

شاید این تحقیق در آینده نزدیک بتواند به ما در تولید نسوج سنتتیک و فایبرگلاس کمک کند؛ اما دیوید ویتز از دانشگاه هاروارد که در این تحقیق مشارکت نداشته، می‌گوید: «کاربردهای صنعتی این آزمون مسئله اصلی نیست. جذابیت این آزمون‌ها به لذتی برمی‌گردد که به فیزیکدانان هدیه می‌کنند. این آزمون‌ها هم مانند علم فیزیک جذاب، سرگرم‌کننده و لذت‌بخش هستند».